\documentclass [a4paper, 10pt] {article}

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\begin {document}
\section* {Parte 1}

Os exercícios propostos a seguir são reproduções de trechos do livro \emph {Matemática Aplicada}, de L.J. Goldstein, D.C. Lay e D.I. Schneider, décima edição, editora Bookman.

\subsection* {Exercício 1 (página 19)}

Seja $f$ a função cujo domínio é constituído por todos os números reais e que é definida pela fórmula $$f(x)=3x^3-4x^2-3x+7.$$ 

Encontre $f(2)$ e $f(-2)$.

Para encontrar $f(2)$ substituímos $2$ em cada uma das ocorrências de $x$ na fórmula para $f(x)$:

\begin {eqnarray*}
f(2) & = & 3(2)^3-4(2)^2-3(2)+7 \\
     & = & 3(8)-4(4)-3(2)+7 \\
     & = & 24-16-6+7 \\
     & = & 9
\end {eqnarray*}     

Para encontrar $f(-2)$ substituímos $-2$ em cada uma das ocorrências de $x$ na fórmula para $f(x)$. Os parênteses asseguram que $-2$ é substituído corretamente. Por exemplo, $x^2$ tem que ser substituído por $(-2)^2$, e não por $-2^2$.

\begin {eqnarray*}
f(-2) & = & 3(-2)^3-4(-2)^2-3(-2)+7 \\
      & = & 3(-8)-4(4)-3(-2)+7 \\
      & = & -24-16+6+7 \\
      & = & -27
\end {eqnarray*}     

\subsection* {Exercício 2 (página 21)}

Se $f(x)=(4-x)/(x^2+3)$, qual é o valor de $f(a)$? E de $f(a+1)$?

Aqui, $a$ representa algum número. Para encontrar $f(a)$, substituímos $x$ por $a$ sempre que este aparecer na fórmula que define $f(x)$: $$f(a)=\frac{4-a}{a^2+3}.$$ Para obter $f(a+1)$, substitua $a+1$ em cada ocorrência de $x$ na fórmula de $f(x)$: $$f(a+1)=\frac{4-(a+1)}{(a+1)^2+3}.$$ A expressão para $f(a+1)$ pode ser simplificada, utilizando o fato de que $(a+1)^2=(a+1)(a+1)=a^2+2a+1$: $$f(a+1)=\frac{4-(a+1)}{(a+1)^2+3}=\frac{4-a-1}{a^2+2a+1+3}=\frac{3-a}{a^2+2a+4}$$

\subsection* {Exercício 3 (página 104)}

Suponha que $\lim\limits_{x \rightarrow a} f(x)$ e $\lim\limits_{x \rightarrow a} g(x)$ existem. Então, temos os seguintes resultados:

\begin {itemize}
\item [(I)] Se $k$ é uma constante, então $\lim\limits_{x \rightarrow a} k \cdot f(x)=k \cdot \lim\limits_{x \rightarrow a} f(x)$
\item [(II)] Se $r$ é uma constante positiva, então $\lim\limits_{x \rightarrow a} \left[ f(x) \right]^r =\left[ \lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) \right]^r$
\item [(III)] $\lim\limits_{x \rightarrow a} \left[ f(x) + g(x) \right]= \lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) + \lim\limits_{x \rightarrow a} g(x)$
\end {itemize}

\subsection* {Exercício 4 (página 335)}

Sejam $f(x)$ e $g(x)$ funções e $a$, $b$ e $k$ constante quaisquer. Então:

\begin {eqnarray}
\int_a^b{f(x)dx}+\int_a^b{g(x)dx}=\int_a^b{\left[f(x)+g(x)\right]dx} \\
\int_a^b{f(x)dx}-\int_a^b{g(x)dx}=\int_a^b{\left[f(x)-g(x)\right]dx} \\
\int_a^b{kf(x)dx}=k\int_a^b{f(x)dx}
\end {eqnarray}

\subsection* {Exercício 5 (página 410)}

Se $R$ uma região no plano $xy$ limitada pelos graficos de $y=g(x)$, $y=h(x)$ e pelas retas verticais $x=a$, $x=b$. Então $$\int{\int\limits_R{f(x,y)dxdy}}=\int_a^b{\left(\int_{g(x)}^{h(x)}{f(x,y)dy}\right)dx}.$$

\subsection* {Exercício 6 (página 459)}

Regra do Ponto Médio:
\begin {eqnarray*}
\int_a^b{f(x)dx} & \approx & f(x_1)\Delta x + f(x_2)\Delta x + \cdots + f(x_n)\Delta x \\
                 & =      & \left[f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_n) \right] \Delta x.
\end {eqnarray*}
                 
\subsection* {Exercício 7 (página 460)}

Regra do Ponto Trapézio:
$$\int_a^b{f(x)dx} \approx \left[ f(a_0) + 2f(a_1) + \cdots + 2f(a_{n-1}) + f(a_n) \right] \frac{\Delta x}{2}.$$
              
\subsection* {Exercício 8 (página 476)}

Calcular a integral imprópria: $$\int_7^{\infty}{\frac{1}{(x-5)^2}dx.}$$

Solução: $$\int_7^b{\frac{1}{(x-5)^2}dx}=-\left.\frac{1}{x-5}\right|_7^b=-\frac{1}{b-5}-\left(-\frac{1}{7-5}\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{b-5}.$$ Quando $b \rightarrow \infty$, a fração $1/(b-5)$ aproxima-se de zero, de forma que $$\int_7^{\infty}{\frac{1}{(x-5)^2}dx}=\lim\limits_{b \rightarrow \infty}\int_7^b{\frac{1}{(x-5)^2}dx}=\lim\limits_{b \rightarrow \infty} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{b-5} \right)=\frac{1}{2}.$$ Nem toda integral imprópria é convergente. Se o valor de $\int_a^b{f(x)dx}$ não tem um limite quando $b \rightarrow \infty$, não podemos associar nenhum valor numérico a $\int_a^{\infty}{f(x)dx}$, e dizemos que a integral imprópria $\int_a^{\infty}{f(x)dx}$ é \emph {divergente}.

\section* {Parte 2}

Os exercícios propostos a seguir são reproduções de trechos do livro \emph {Álgebra Linear}, de S. Lang, terceira  edição, editora Ciência Moderna.

\subsection* {Exercício 9 (página 52)}

Seja $A=(a_{ij}), i=1, \dots, m$ e $j=1, \dots, n$ uma matriz $m \times n$. Seja $B=(b_{jk}), i=1, \dots, n$ e $k=1, \dots, s$ uma matriz $n \times s$.

$$
A=\left( 
\begin{array}{ccc}
a_{11} & \dots & a_{1n} \\ 
 & \dots &  \\ 
a_{m1} & \dots & a_{mn} \\ 
\end{array}
\right)
\mbox { e }
B=\left( 
\begin{array}{ccc}
a_{11} & \dots & a_{1s} \\ 
 & \dots &  \\ 
a_{n1} & \dots & a_{ns} \\ 
\end{array}
\right)
$$ 

Definimos o produto $A \times B$ como sendo a matriz $m \times s$ cuja $ik$-coordenada é: $$\sum_{j=1}^n{a_{ij}b_{jk}}=a_{i1}b_{1k}+a_{i2}b_{2k}+\dots+a_{in}b_{nk}.$$

Se $A_1,\dots,A_m$ são vetores-linha da matriz $A$, e se $B^1,\dots,B^s$ são os vetores-coluna da matriz $B$, então a $ik$-coordenada do produto $AB$ é igual a $A_i \cdot B^k$. Portanto:

$$
\left( 
\begin{array}{ccc}
A_1 \cdot B^1 & \dots & A_1 \cdot B^s \\ 
\vdots & & \vdots \\ 
A_m \cdot B^1 & \dots & A_m \cdot B^s \\ 
\end{array}
\right)
$$ 

Multiplicação de matrzes é portanto uma generalização do produto escalar.

\subsection* {Exercício 10 (página 56)}

Sejam $A, B$ e $C$ matrizs tais que $A$ e $B$ podem ser multiplicadas e $B$ e $C$ podem ser multiplicadas.  Então $A$ e $BC$ podem ser multiplicadas, $AB$ e $C$ podem ser multiplicadas, e vale a seguinte identidade: $$(AB)C=A(BC).$$

Sejam $A=(a_{ij})$ uma matriz $m \times n$ e $B=(b_{jk})$ uma matriz $n \times r$ . Consideremos ainda $C=(c_{kl})$ uma matriz $r \times s$. O produto $A \times B$ é uma matriz $m \times r$, cuja $ik$-componente é dada pela soma: $$a_{i1}b_{1k}+a_{i2}b_{2k}+\dots+a_{in}b_{nk}.$$

Abreviaremos esta soma usando a notação $\Sigma$ e escrevendo: $$\sum_{j=1}^n{a_{ij}b_{jk}}.$$ 

Por definição, a $il$-componente de $(AB)C$ é igual a:

$$\sum_{k=1}^r{\left[\sum_{j=1}^n{a_{ij}b_{jk}}\right]c_{kl}}=\sum_{k=1}^r{\left[\sum_{j=1}^n{a_{ij}b_{jk}c_{kl}}\right]}.$$

A soma do membro direito também representa a soma de todos os termos: $$\sum a_{ik}b_{jk}c_{kl},$$ onde $j$ e $k$ assumem todos os valores inteiros $1 \leq j \leq n$ e $1 \leq k \leq r$, respectivamente.

Se tivéssemos começado com a $jl$-componente de $BC$ e depois calculado a $il$-componente de $A(BC)$, teríamos encontrado a mesma soma; com isto, fica demonstrado o nosso teorema.

\subsection* {Exercício 11 (página 124)}

Seja $L: K^n \rightarrow K^m$ uma aplicação linear. Então existe uma única matriz $A$ tal que $L=L_A$.

De modo usual, sejam $E^1,\dots,E^n$ os vetores-coluna unitários em $K^n$, e $e^1,\dots,e^m$ os vetores-coluna unitários em $K^m$. Assim, podemos escrever um vetor arbitrário $X$ em $K^n$ como uma combinação linear:

$$X=x_1E^1+\cdots+x_nE^n=
\left(
\begin{array}{c}
x_1 \\ 
\vdots \\ 
x_n
\end{array}
\right),$$

onde $x_j$ é a $j$-ésima coponente de $X$. Vimos $E^1,\dots,E^n$ como vetores-coluna. Por linearidade, encontramos: $$L(X)=x_1L(E^1)+\cdots+x_nL(E^n).$$

Além disso, podemos escrever cada $L(E^j)$ em termos de $e^1,\dots,e^m$. Em outras palavras, existem números $a_{ij}$ que:

$$
\begin{array}{ccccc}
L(E^1) & = & a_{11}e^1 & + \cdots + & a_{m1}e^m \\ 
\vdots &   & \vdots    &            & \vdots \\ 
L(E^n) & = & a_{1n}e^1 & + \cdots + & a_{mn}e^m
\end{array} 
$$

ou em termos de vetores-coluna:

$$L(E^1)=
\left(
\begin{array}{c}
a_{11} \\ 
\vdots \\ 
a_{m1}
\end{array}
\right),\dots,L(E^n)=
\left(
\begin{array}{c}
a_{1n} \\ 
\vdots \\ 
a_{mn}
\end{array}
\right).$$

Portanto:
\begin {eqnarray*}
L(X) & = & x_1(a_{11}e^1+\cdots+a_{m1}e^m)+\cdots+x_n(a_{1n}e^1+\cdots+a_{mn}e^m) \\
     & = & (a_{11}x_1+\cdots+a_{1n}x_n)e^1+\cdots+(a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n)e^m.
\end {eqnarray*}

Conseqüentemente, se $A=a_{ij}$, então concluímos que: $$L(X)=AX.$$

Ao escrever esta expressão por extenso, lê-se:
$$
\left(
\begin{array}{ccc}
a_{11} & \dots & a_{1n} \\ 
\vdots &  & \vdots \\ 
a_{m1} & \dots & a_{mn} 
\end{array}
\right) 
\left(
\begin{array}{c}
x_1 \\ 
\vdots \\ 
x_n
\end{array}
\right) =
\left(
\begin{array}{ccc}
a_{11}x_1 + & \cdots & + a_{1n}x_n \\ 
 & \vdots &  \\ 
a_{m1}x_1 + & \cdots & + a_{mn}x_n
\end{array}
\right) 
$$

Assim, $L=L(A)$ é o operador linear associado à matriz $A$. Também chamamos $A$ de \textbf {matriz associada ao operador linear $L$}.

\subsection* {Exercício 12 (página 201)}

Antes de enunciar as propriedades gerais de um determinante arbitrário, vamos considerar primeiro um caso particular.

Seja
$$A=
\left(
\begin{array}{cc}
a & b \\ 
c & d
\end{array}
\right)
$$
uma matriz $2 \times 2$ num corpo $K$. Definimos seu \textbf {determinante} como sendo $ad-bc$. Assim o determinante é um elemento de $K$. Ele é denotado por :
$$A=
\left|
\begin{array}{cc}
a & b \\ 
c & d
\end{array}
\right|=ad-bc.
$$

Por exemplo, o determinante da matriz:
$$
\left(
\begin{array}{cc}
2 & 1 \\ 
1 & 4
\end{array}
\right)
$$
é igual a $2 \cdot 4 - 1 \cdot 1 = 7$.
\end {document}